高校数学 自作問題 個数の処理-1の解説

みなさんこんばんは！

ブログの中の人のHです。

自分の受験校の得点開示が返ってきたのですが、数学が想像以上に良い点を取れていたことがわかりウキウキしています。大学でも数学頑張りたいなぁと思っています😆

さて、今回は一週間前に投稿した問題の解説をしていきたいと思います。

今回は個数の処理（と極限の融合）問題でした。

問題文でルールが設定されていて、その場で規則性を掴んで解くといった感じですね。

まず（１）から。

この問題は問題文のルールを理解してもらうために作りました。

『T(n+1)のタイルはTnのタイルと一辺を共有していなければならず、T0-Tnのタイルのいずれとも重なってはいけない』という条件を満たす敷き詰め方を漏らさず描きましょう。

次に（２）

Lnが最も大きくなる時のタイルの敷き詰め方は、タイルが『線』状に敷き詰められる時、Lnが最も小さくなる時のタイルの敷き詰め方は、タイルが『円』状に敷き詰められる時ですね。

それぞれ図のように敷き詰めてあげれば良いでしょう。

余弦定理を用いてあげればR5は求まりますし、r5に関しては明らかに図からわかりますね。

（３）はRnを一般のnを用いて表す問題です。

（２）でも考えた通り『Lnが最も大きくなる時のタイルの敷き詰め方は、タイルが『線』状に敷き詰められる時』ですね。

ただ、nの偶奇によってタイルが『平行四辺形』になるか『等脚台形』になるか変わってきますので注意が必要です。

（４）は少し難しいかもしれません。

（２）でも考えた通り『Lnが最も小さくなる時のタイルの敷き詰め方は、タイルが『円』状に敷き詰められる時』ですが、nを用いてr_nを求めるのは、相当大変です。

（歪な形のタイルを覆う最小の円の半径なんて求めたくないですよね泣）

そこで、大雑把に評価してみようとするわけです。

（はさみうちの原理を使う時のポイント）

綺麗な正六角形の形に敷き詰められるのはタイルを6k^2枚使った時ですね。一辺の長さがkの正六角形となっているためr_nはkとわかります。

タイルを使えば使うほどr_nは大きくなっていくので、タイルをT0を含めて6k^2枚から6(k+1)^2枚までの枚数を使ったときは、r_nはkとk+1の間にあるとわかります。

よってkを用いた形で『タイルの枚数』とr_nに関するそれぞれの不等式が出来上がりました。

最後にnを十分大きくしていけば、kも十分大きくなっていくので解答の通りはさみうちの原理を使うことができます。

(補足)

n→∞ではタイルを無数に使っているので少し歪な形であったとしても敷き詰めたタイルは『ほぼ』円状をしているとみなせますよね。このことに気づくことが（４）のような解答を書くモチベーションになっています。『いびつさ』がn→∞でほぼ無視できることをどのように数式にして表すことができるか？を考えた結果…このような解答になりました。極限を飛ばした時の1/k→0とか1/(k^2)→0がこのことに対応しています。

いかがだったでしょうか。少し難しめだったかもしれません。解説を終わります。

不明点やもっといい解答があるよ！って方はコメント欄にどうぞ〜

来週の自分の担当回は

『自作問題　極限-1』です。

高校数学で大切な極限問題の手法は今回登場した『はさみうちの原理』ともう一つあります。

そのもう一つを次回は出題します。楽しみにしていてください！

次回分は難易度を抑えたので是非挑戦してくださいね〜♪

ではまた！

海の数学王　H