大阪大学2023理系第１問
皆さんこんにちは！ ブログの中の人のKです。
大学生活が始まって慣れない事も多くて全然ブログを書けなかったです、、、
今回は大阪大学2023理系第１問の解説をしていきます。
前回出題した問題を再掲します！
それでは、解答です。まだ解いてない方は先に解いてから解答を見ることをお勧めします！
数３の極限の分野からの出題です。
(1)で不等式を証明して(2)でそれを利用して極限を求めるという構造の問題となっています。
(2)数列の級数はメルカトル級数と呼ばれていて、log2に収束することが知られており、メルカトル級数に関連する問題を解いた経験があると見通しよく問題を解けると思います。
(1)
不等式の証明の問題は、有名不等式を用いる、引いて微分等の手法を用いて解いていくのが一般的です。
今回はまずシグマの部分が等比数列の形になっていることを見抜いて和の公式を用いて整理します。
すると各辺にｘのｎ乗の形があらわれ、各辺割ることできれいな式となります。
後は不等号の向きに気を付けて証明すれば(1)は完了です。
シグマの部分が等比数列の形になっていることを用いて変形していく手法を覚えておきましょう。
(2)
前述の通り(1)の利用を考えます。
知らないと厳しい部分ですが(1)の不等式の各辺を0から1まで積分することで数列{an}を不等式中につくることができます。
各辺積分した式にnをかけて、はさみうちの原理を用いて極限値を求めれば(2)は完了です。
示した不等式の各辺を積分するという手法は数３で頻出のテクニックなので必ず身に着けておきましょう。
メルカトル級数を題材とした重要な手法が沢山つまった数３の典型問題でした。
極限値を求める流れをしっかりと把握しておくことがとても大事です。
次回の解説は東京工業大学2015の第三問です！じっくり考えてみて下さいね！
ではまた！
海の数学王 K
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