大学入試数学 極限の自作問題 の解説

皆さんこんにちは！

海の数学王のHです。

非常に忙しくて、長期間投稿できていませんでした😭

ごめんなさい……

今回は前回投稿した「大学入試数学 極限の自作問題」 の解説をします。

まだ解いていない方は解いてから解答を見るのをおすすめします。

以下解答↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

(解説)

(1)

必須手法です。必ずやり方を押さえて(暗記して)おきましょう。

分母と分子にcosxをかけて、sinx=tと置換積分するとtだけが登場する積分になります。

ここまでいったら、部分分数分解して積分計算できる分数の和と差で表しましょう。

ミスなく積分し終えたら最後にt=sinxを代入するのを忘れずに。

(2)

計算するだけですが、ミスしてしまいそうな問題です。

ミスすると(3)も自動的に間違えてしまうので用心しながら計算しましょうね。

「ベクトルの面積公式」を使ってあげてゴリゴリ計算します。

(3)で区分求積法を使うことを見越して「k/n」や「(k+1)/n」をかたまりとして計算を終わらせておくと良いかもしれません。

(3)

前問でも述べたように「区分求積法」を利用します。

n→∞とする際に、「k/n」や「(k+1)/n」を x とすればよくて、Σの下端が0で上端がn-1なので積分区間は[0,1]とすればよかったのでしたね。

それぞれの積分計算で tanθ で置換積分してあげますが、積分変数をx→θと書き換えてあげる際に、積分区間は有名角のみで表せられます。

ここで、θを積分変数とした形で立式すれば(1)と同じ形が出てくることに気づきます。

(1)で不定積分の形は計算し終えているので、代入して計算してあげるだけで答えが求まってしまいます。

ただ、最後の代入計算もミスしそうで怖いですね。

(一言)

三角形の面積の和を題材にした極限問題でした。

三角形の面積の和を計算してるだけなのに、自然対数(log_e)が答えに出てくるのが面白いですね。

極限の面白さを読者の皆さんと共有できれば嬉しいです。

ここまで読んでいただきありがとうございました！

次回のわたくしHの担当回では

まだテーマは決まっていませんがまた自作問題を投稿したいと思います。

皆さんの挑戦をお待ちしています。

では、また！

海の数学王　H

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