大学入試数学 極限の自作問題 の解説
皆さんこんにちは！
海の数学王のHです。
非常に忙しくて、長期間投稿できていませんでした😭
ごめんなさい……
今回は前回投稿した「大学入試数学 極限の自作問題」 の解説をします。
まだ解いていない方は解いてから解答を見るのをおすすめします。
以下解答↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
(解説)
(1)
必須手法です。必ずやり方を押さえて(暗記して)おきましょう。
分母と分子にcosxをかけて、sinx=tと置換積分するとtだけが登場する積分になります。
ここまでいったら、部分分数分解して積分計算できる分数の和と差で表しましょう。
ミスなく積分し終えたら最後にt=sinxを代入するのを忘れずに。
(2)
計算するだけですが、ミスしてしまいそうな問題です。
ミスすると(3)も自動的に間違えてしまうので用心しながら計算しましょうね。
「ベクトルの面積公式」を使ってあげてゴリゴリ計算します。
(3)で区分求積法を使うことを見越して「k/n」や「(k+1)/n」をかたまりとして計算を終わらせておくと良いかもしれません。
(3)
前問でも述べたように「区分求積法」を利用します。
n→∞とする際に、「k/n」や「(k+1)/n」を x とすればよくて、Σの下端が0で上端がn-1なので積分区間は[0,1]とすればよかったのでしたね。
それぞれの積分計算で tanθ で置換積分してあげますが、積分変数をx→θと書き換えてあげる際に、積分区間は有名角のみで表せられます。
ここで、θを積分変数とした形で立式すれば(1)と同じ形が出てくることに気づきます。
(1)で不定積分の形は計算し終えているので、代入して計算してあげるだけで答えが求まってしまいます。
ただ、最後の代入計算もミスしそうで怖いですね。
(一言)
三角形の面積の和を題材にした極限問題でした。
三角形の面積の和を計算してるだけなのに、自然対数(log_e)が答えに出てくるのが面白いですね。
極限の面白さを読者の皆さんと共有できれば嬉しいです。
ここまで読んでいただきありがとうございました！
次回のわたくしHの担当回では
まだテーマは決まっていませんがまた自作問題を投稿したいと思います。
皆さんの挑戦をお待ちしています。
では、また！
海の数学王 H
感想やコメントどしどしお待ちしています↓↓↓
大学入試数学 極限の自作問題
皆さんこんにちは！
海の数学王のブログのHです.
大学のテスト勉強で時間がなくて投稿が二週間できていませんでした😅
ごめんなさい…
さて，今回は前回の予告通り…「極限」に関する自作問題を出題します.
三角形の面積の足し合わせの極限を求めてみよう！という問題です.
(1)の積分計算が(2)以降でどのように利用できるのか考えてみてください！
極限って面白い！って実感できる問題になっていると思います.
一週間後に解答解説を投稿します！(おそらく…)
それまでじっくり考えてみてくださいね〜
ではまた！
海の数学王 H
コメント等はご自由にどうぞ！
高校数学 自作問題 個数の処理-1の解説
みなさんこんばんは！
ブログの中の人のHです。
自分の受験校の得点開示が返ってきたのですが、数学が想像以上に良い点を取れていたことがわかりウキウキしています。大学でも数学頑張りたいなぁと思っています😆
さて、今回は一週間前に投稿した問題の解説をしていきたいと思います。
今回は個数の処理（と極限の融合）問題でした。
問題文でルールが設定されていて、その場で規則性を掴んで解くといった感じですね。
まず（１）から。
この問題は問題文のルールを理解してもらうために作りました。
『T(n+1)のタイルはTnのタイルと一辺を共有していなければならず、T0-Tnのタイルのいずれとも重なってはいけない』という条件を満たす敷き詰め方を漏らさず描きましょう。
次に（２）
Lnが最も大きくなる時のタイルの敷き詰め方は、タイルが『線』状に敷き詰められる時、Lnが最も小さくなる時のタイルの敷き詰め方は、タイルが『円』状に敷き詰められる時ですね。
それぞれ図のように敷き詰めてあげれば良いでしょう。
余弦定理を用いてあげればR5は求まりますし、r5に関しては明らかに図からわかりますね。
（３）はRnを一般のnを用いて表す問題です。
（２）でも考えた通り『Lnが最も大きくなる時のタイルの敷き詰め方は、タイルが『線』状に敷き詰められる時』ですね。
ただ、nの偶奇によってタイルが『平行四辺形』になるか『等脚台形』になるか変わってきますので注意が必要です。
（４）は少し難しいかもしれません。
（２）でも考えた通り『Lnが最も小さくなる時のタイルの敷き詰め方は、タイルが『円』状に敷き詰められる時』ですが、nを用いてr_nを求めるのは、相当大変です。
（歪な形のタイルを覆う最小の円の半径なんて求めたくないですよね泣）
そこで、大雑把に評価してみようとするわけです。
（はさみうちの原理を使う時のポイント）
綺麗な正六角形の形に敷き詰められるのはタイルを6k^2枚使った時ですね。一辺の長さがkの正六角形となっているためr_nはkとわかります。
タイルを使えば使うほどr_nは大きくなっていくので、タイルをT0を含めて6k^2枚から6(k+1)^2枚までの枚数を使ったときは、r_nはkとk+1の間にあるとわかります。
よってkを用いた形で『タイルの枚数』とr_nに関するそれぞれの不等式が出来上がりました。
最後にnを十分大きくしていけば、kも十分大きくなっていくので解答の通りはさみうちの原理を使うことができます。
(補足)
n→∞ではタイルを無数に使っているので少し歪な形であったとしても敷き詰めたタイルは『ほぼ』円状をしているとみなせますよね。このことに気づくことが（４）のような解答を書くモチベーションになっています。『いびつさ』がn→∞でほぼ無視できることをどのように数式にして表すことができるか？を考えた結果…このような解答になりました。極限を飛ばした時の1/k→0とか1/(k^2)→0がこのことに対応しています。
いかがだったでしょうか。少し難しめだったかもしれません。解説を終わります。
不明点やもっといい解答があるよ！って方はコメント欄にどうぞ〜
来週の自分の担当回は
『自作問題 極限-1』です。
高校数学で大切な極限問題の手法は今回登場した『はさみうちの原理』ともう一つあります。
そのもう一つを次回は出題します。楽しみにしていてください！
次回分は難易度を抑えたので是非挑戦してくださいね〜♪
ではまた！
海の数学王 H
大阪大学2023理系第１問
皆さんこんにちは！ ブログの中の人のKです。
大学生活が始まって慣れない事も多くて全然ブログを書けなかったです、、、
今回は大阪大学2023理系第１問の解説をしていきます。
前回出題した問題を再掲します！
それでは、解答です。まだ解いてない方は先に解いてから解答を見ることをお勧めします！
数３の極限の分野からの出題です。
(1)で不等式を証明して(2)でそれを利用して極限を求めるという構造の問題となっています。
(2)数列の級数はメルカトル級数と呼ばれていて、log2に収束することが知られており、メルカトル級数に関連する問題を解いた経験があると見通しよく問題を解けると思います。
(1)
不等式の証明の問題は、有名不等式を用いる、引いて微分等の手法を用いて解いていくのが一般的です。
今回はまずシグマの部分が等比数列の形になっていることを見抜いて和の公式を用いて整理します。
すると各辺にｘのｎ乗の形があらわれ、各辺割ることできれいな式となります。
後は不等号の向きに気を付けて証明すれば(1)は完了です。
シグマの部分が等比数列の形になっていることを用いて変形していく手法を覚えておきましょう。
(2)
前述の通り(1)の利用を考えます。
知らないと厳しい部分ですが(1)の不等式の各辺を0から1まで積分することで数列{an}を不等式中につくることができます。
各辺積分した式にnをかけて、はさみうちの原理を用いて極限値を求めれば(2)は完了です。
示した不等式の各辺を積分するという手法は数３で頻出のテクニックなので必ず身に着けておきましょう。
メルカトル級数を題材とした重要な手法が沢山つまった数３の典型問題でした。
極限値を求める流れをしっかりと把握しておくことがとても大事です。
次回の解説は東京工業大学2015の第三問です！じっくり考えてみて下さいね！
ではまた！
海の数学王 K
お気軽にコメントお待ちしています😆
大学入試数学 個数の処理の自作問題
皆さんこんにちは！ ブログの中の人のHです。
いかがお過ごしでしょうか?
自分は大学生活が始まって二週間ほどが経ちましたが、
なかなか慣れないことも多くて忙しい日々を過ごしています。
さて、本日は自作問題を出題してみます。
色々手を動かして実験してみてください！
来週答えを配信したいと思います。
10行下にヒントを書いておきます。
見たくない人はここでブログを閉じてくださいね！
ではまた来週！
では、ヒントを出したいと思います。
(1)について
G1は3つ、G2は6つあります。全て書き出してみてください。
(2)について
色々実験してみてください。
できるだけ長くしきつめたらR5、
できるだけ円に近くなるようにしきつめたらr5となりますね。
(3)について
(2)でわかったことを一般化してみましょう。
(4)について
"上手に"はさみうちの原理にもちこめるように工夫してみましょう。
ヒントは以上です。
では！ここまで読んでくれた皆さんもまた来週！
海の数学王 H
お気軽にコメントや感想お待ちしています😆
自己紹介ー高校数学解説ブログ始めましたー
2023/4/11 自己紹介
皆さんこんにちは！
当ブログは高校レベルの数学を用いて大学入試数学問題を解説していくブログです！
このブログは現役大学一年生二人組のHとKが交互に書いていきます。
大学入試問題の解説に加えて、自作した問題を掲載して解説もする予定です。
大学受験に向けた勉強を頑張っている人から数学が好きな大人まで幅広い層を対象としています。
次回から本格的に投稿を頑張っていきます。
毎回二人が厳選した教育的な問題を解説していくので楽しみにしていてくださいね!
次回の予定は…
大阪大学理系数学2023第1問
です。
大阪大学らしい良問です！
小問のつながり意識すると解きやすいと思いますよ～
ぜひ解いてみてください!(^^)!
ではまた！
2023/4/11 H＆K
お気軽にコメントどうぞ！
